Función convexa o cóncava hacia arriba

Podemos determinar las funciones convexa y concaba hacia arriba utilizando el criterio de la segunda derivada y algunos ejemplos.

CRITERIOS: 

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio 1: Función Cuadrática

Consideremos la función:F(incógnita)=incógnita2f ( x )=incógnita2

• Primera Derivada :

F"(incógnita)=2incógnitaF"( x )=2x​

• Segunda Derivada :

F""(incógnita)=2F"( x )=2Dado queF""(incógnita)=2>0F"( x )=2>0para todoincógnitaincógnita, la funciónF(incógnita)=incógnita2f ( x )=incógnita2es convexa en todoRR.

Ejercicio 2: Función Cúbica

Consideremos la función:gramo(incógnita)=incógnita3−3incógnitag ( x )=incógnita3−3 veces

• Primera Derivada :

gramo"(incógnita)=3incógnita2−3gramo"( x )=3 veces2−3

• Segunda Derivada :

gramo""(incógnita)=6incógnitagramo"( x )=6x​La segunda derivada cambia de signo. Para determinar los intervalos de convexidad y concavidad:

• gramo""(incógnita)>0⇒incógnita>0gramo"( x )>0⇒incógnita>0(convexa)
• gramo""(incógnita)<0⇒incógnita<0gramo"( x )<0⇒incógnita<0(cóncava)

Por lo tanto,gramo(incógnita)g ( x )es convexa en(0,∞)( 0 ,∞ )y cóncava en(−∞,0)( − ∞ ,0 ).

Ejercicio 3: Función Exponencial

Consideremos la función:yo(incógnita)=miincógnitah ( x )=miincógnita

• Primera Derivada :

yo"(incógnita)=miincógnitayo"( x )=miincógnita

• Segunda Derivada :

yo""(incógnita)=miincógnitayo"( x )=miincógnitaDado queyo""(incógnita)=miincógnita>0yo"( x )=miincógnita>0para todoincógnitaincógnita, la funciónyo(incógnita)=miincógnitah ( x )=miincógnitaes convexa en todoRR.

Ejercicio 4: Función Logarítmica

Consideremos la función:a(incógnita)=−En⁡(incógnita)k ( x )=−en ( x )En el intervalo(0,∞)( 0 ,∞ ).

• Primera Derivada :

a"(incógnita)=−1incógnitaa"( x )=−incógnita1​

• Segunda Derivada :

a""(incógnita)=1incógnita2a"( x )=incógnita21​Dado quea""(incógnita)>0a"( x )>0, la funcióna(incógnita)=−En⁡(incógnita)k ( x )=−en ( x )es convexa en el intervalo(0,∞)( 0 ,∞ ).